Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können.Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.

Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.

1 Erforderliche mathematische Grundlagen 11.1 Matrizen11.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen21.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen21.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar21.1.4 Quadratische Matrix31.1.5 Einheitsmatrix31.1.6 Determinante31.1.7 Unterdeterminante oder Minor51.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement51.1.9 Inverse Matrix61.1.10 Transponierte einer Matrix71.1.11 Komplex konjugierte Matrix71.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix81.1.13 Hermitesche Matrix selbstadjungierte Matrix91.1.14 Orthogonalmatrix91.1.15 Unit are Matrix101.1.16 Normalmatrix Normale Matrix111.1.17 Norm einer Matrix111.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl121.1.19 Eigenwert, Eigenvektor131.1.20 Quadratische Matrizen eine Zusammenfassung151.2 Integral-, Di erenzialgleichungen171.2.1 Definitionen171.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen181.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung181.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen201.2.5 Partielle Integration221.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen221.2.7 Anfangswertaufgabe231.2.8 Randwertaufgabe241.2.9 Lineare Operatoren251.2.10 Inneres Produkt271.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung301.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung301.3 Vektor-Klassifikation311.4 Di erenziationsregeln für Vektoren311.5 Vektoroperatoren321.5.1 Nabla-und Laplace-Operator321.5.2 Vektoroperator Gradient331.5.3 Vektoroperator Divergenz341.5.4 Vektoroperator Rotation351.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren351.5.6 Rechenregeln f ur den Nabla-Operator361.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt371.6 Maxwellsche Gleichungen381.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral381.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral391.6.3 Maxwellsche Gleichungen Di erenzialform401.6.4 Maxwellsche Gleichungen Integralform401.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder401.7 Diracsche Deltafunktion412 Koordinatensysteme 432.1 Kartesisches Koordinatensystem432.2 Zylinderkoordinatensystem452.3 Kugelkoordinatensystem473 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 513.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen513.2 Eigenfrequenz Fehlerrechnung553.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation563.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität573.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand593.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand613.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität623.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis643.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 673.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis693.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis703.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis763.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis794 Stromverdrängung im Leiter 814.1 Stromverdrängung im Leiter Modellbildung824.2 Stromverdrängung im Leiter Berechnungsergebnis864.3 Stromverdrängung im Leiter Simulationsergebnis874.4 Stromverdrängung im Leiter Zusammenfassung895 Besselgleichung und Besselfunktion 915.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel925.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises935.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung945.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 975.4.1 Modellanordnung975.4.2 Herleitung der Besselfunktion985.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 1015.5.1 Modellanordnung1015.5.2 Herleitung der Besselfunktion1015.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung1046 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Greenscher Funktionen 1096.1 Zur Person George Green1096.2 Greensche Integralsätze1126.3 PDE Auf-, Integrationspunktanordnungen1146.4 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Di erenzialform1166.5 PDE Vorbereitung zur Lösung nach Green Integralform1186.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable1186.5.2 Homogene Randbedingungen1206.5.3 Inhomogene Randbedingungen1216.5.4 Dirichlet-Randbedingungen1216.5.5 Neumann-Randbedingungen1216.6 PDE Lösung der Poissonschen DGL1226.6.1 Aufgabenbeschreibung1226.6.2 Lösungsweg1236.7 PDE Lösung der Laplaceschen DGL1256.7.1 Aufgabenbeschreibung1256.7.2 Lösungsweg1266.8 ODE Vorbereitung zur Lösung mit der Greenschen Funktion1286.8.1 Homogene Randbedingungen1306.8.2 Inhomogene Randbedingungen1306.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen1316.9 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 1336.9.1 Aufgabenbeschreibung1336.9.2 Lösungsweg I1346.9.3 Lösungsweg II1376.10 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x1406.10.1 Aufgabenbeschreibung1406.10.2 Lösungsweg1406.11 ODE Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x)1426.11.1 Aufgabenbeschreibung 1426.11.2 Lösungsweg1426.12 ODE Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II)1446.12.1 Aufgabenbeschreibung1446.12.2 Lösungsweg1456.13 ODE Lösung von d2 u/dx2 = x1486.13.1 Aufgabenbeschreibung 1486.13.2 Lösungsweg1487 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 1537.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1ter Ordnung1537.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2ter Ordnung1547.3 Finite Elemente1588 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 1618.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM)1618.2 Anmerkungen zur Momentenmethode1638.2.1 Matrix (ljk)1638.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk1648.3 Zur Person Boris Galerkin1648.4 Galerkins Idee1659 Traditionelle Galerkin-Methode 16710 Galerkin-Methode Lösung von du/dx = u 16910.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion16910.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 17010.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung17110.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 17111 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 17511.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion17511.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 17611.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung17611.4 Lösung des linearen Gleichungssystems17812 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 18112.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion18212.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung18212.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung18312.4 Lösung des linearen Gleichungssystems18313 Galerkin-Methode Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 18513.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion18513.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 18613.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung18713.4 Lösung des linearen Gleichungssystems18814 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz 19114.1 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters19314.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung19314.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 19414.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems19514.2 Galerkin-Methode Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters19614.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung19614.2.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 19714.2.3 Lösung des linearen Gleichungssystems19814.3 Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis19915 Galerkin-FEM 20115.1 Galerkin-FEM Was wird gelöst?20115.2 Galerkin-FEM Vorgehen zur Lösung20216 Galerkin-FEM Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 20516.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung20616.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 20716.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion20716.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)20916.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung21016.6 Lösung des linearen Gleichungssystems21417 Galerkin-FEM Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 21717.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung21817.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 21917.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion21917.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)21917.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung21917.6 Lösung des linearen Gleichungssystems22018 Galerkin-FEM Elektrostatische Feldberechnung 22318.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung22318.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 22418.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion22418.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)22418.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung22618.6 Lösung des linearen Gleichungssystems22819 Galerkin-FEM Ortsabhängige Temperaturberechnung 23119.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung23119.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 23319.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion23319.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)23319.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung23419.6 Lösung des linearen Gleichungssystems23519.7 Di usionsvorgang vollendet23820 Galerkin-FEM Ortsabhängige Magnetfeldberechnung 24120.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung24120.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 24320.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion24320.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)24320.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung24420.6 Lösung des linearen Gleichungssystems24521 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode 25121.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung25121.2 Zu den Personen Crank und Nicolson25221.3 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson25221.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung 25321.3.2 Lösung der Matrizengleichung25421.3.3 Anwendungsbeispiel25721.4 Lösung mit expliziter Methode26021.4.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung .26021.4.2 Lösung der Matrizengleichung26121.4.3 Anwendungsbeispiel26222 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 26922.1 Analyse eines Proportionalmagnets26922.1.1 Preprocessing27022.1.2 Processing27122.1.3 Postprocessing27222.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors27322.2.1 Preprocessing27322.2.2 Processing27322.2.3 Postprocessing27422.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors27423 Virtuelle Produktentwicklung 27723.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool27723.2 Mehrzieloptimierung Pareto-Optimierung27823.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet27923.3.1 Monte Carlo-Methode28023.3.2 Partikelschwarm-Methode28223.3.3 Evolutionäre Methode .28223.3.4 Diskussion der Ergebnisse 28324 Eigenwertprobleme 28524.1 Eigenwertproblem Einführung28524.2 Eigenwertproblem Momentenmethode28624.3 Eigenwertproblem kanonische Form28725 Eigenwertproblem-MOM Lösung von d2 u/dx2 = u 28925.1 Aufgabenbeschreibung28925.2 Lösungsweg und Lösung29025.3 Lösung für 1ter Ordnung29025.4 Lösung für 2ter Ordnung29426 Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs 29726.1 Momentenmethode (MOM)29726.2 Integraltransformation29926.3 Greensche Methode30027 Wissenswertes zur Modellbildung 30327.1 Kategorien der Modellbildung30327.2 Analytik contra Numerik .30428 Nützliche Normen 307Literaturverzeichnis 311A Anhang 317A.1 MATLAB-Code Wärmedi usionsskript317A.2 MATLAB-Code Magnetfelddi usionsskript321A.3 Toolvergleich MATLAB vs. COMSOL327B Campus Künzelsau Inside 329Index 331